Визначення метрик якості скінченного елемента в формі біпіраміди

Abstract

У статті розглянуто метричні властивості скінченного елемента в формі біпіраміди, яка має один/два/три рухомих вузли. Основною задачею даного дослідження є визначення умов використання біпіраміди, яка не є правильним багатогранником, при побудові скінченно-елементної сітки. У роботі знайдено чотири основні показники якості біпіраміди: якість елемента, співвідношення сторін, асиметрія та якість ортогональності. Усі обчислення виконано за правилами, які використовують у ANSYS. За формулою для 3D-елементів знайдено інтервальну оцінку метрики якості елемента, яка визначає межі застосування біпірамід при дискретизації області методом скінченних елементів у задачах лінійної механіки, теорії пружності та теплопровідності. На основі аналізу співвідношення сторін граней біпіраміди отримано формулу для обчислення показника якості біпіраміди, яка має один/два/три рухомих вузли. Межі застосування даної формули визначаються правилами, які діють для показника співвідношення сторін в ANSYS Mechanical, Elecromagnetics та CFX. У роботі знайдено інтервальні оцінки для показника асиметрії біпіраміди з одним/двома/трьома рухомими вузлами, які дозволяють задовольнити вимоги ANSYS до якості сітки на рівні good та excellent. Отримані оцінки є обмеженнями для величин внутрішніх кутів граней біпіраміди, які є функціями параметрів видовження/стиснення півосей багатогранника. Виявлені залежності між відмінними від нуля координатами вершин грані біпіраміди та величинами її кутів спрощують алгоритм перевірки показника якості асиметрії. У роботі визначено метрику якості ортогональності в вигляді функції параметрів видовження/стиснення біпіраміди. На основі аналізу множини значень даної функції встановлено, що незалежно від параметрів біпіраміди показник якості ортогональності приймає додатні значення. Згідно з вимогами, що висуваються в ANSYS, додатна визначеність якості ортогональності є достатньою умовою для використання елементів неправильної геометричної форми при генерації скінченно-елементних сіток. Отримані результати містять формули та інтервальні оцінки, які можуть бути застосовані при алгоритмізації метода скінченних елементів. Перспективою подальших досліджень є розробка алгоритму дискретизації 3D-областей сіткою тетраедрально-октаедральної структури та проведення обчислювальних експериментів методом скінченних елементів.